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一个不等式的推广及应用

2023-09-15 08:10:01 收藏本文下载本文

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一个不等式的推广及应用

篇1：一个不等式的推广及应用

一个不等式的推广及应用

河南省高中数学竞赛有这样一道不等式试题:

作者：吴卫国作者单位：上海市崇明县民本中学,57 刊名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 44(10) 分类号：O1 关键词：

篇2：一个推广的Hilbert型积分不等式及其应用

一个推广的Hilbert型积分不等式及其应用

本文改进权函数的方法,引入参数λ,给一个Hilbert型积分不等式以具有最佳常数因子的'推广.作为应用,建立其等价式及逆向形式.本文的结果及所提供的方法将对同类问题的研究起到有益的借鉴作用.

作者：杨必成 YANG Bi-cheng 作者单位：广东教育学院数学系,广东广州,510303 刊名：数学杂志 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF MATHEMATICS 年，卷(期)： 27(3) 分类号：O178 关键词：Hilbert型不等式权函数 Beta函数 H(o)lder不等式

篇3：一个几何不等式的推广

一个几何不等式的推广

文[1]中介绍了如下一个经典的几何不等式: 命题 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,则S△DEF≤1/4S△ABC. 本文对其作如下推广: 推广 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的`连线和对边的交点,分别记△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积为S1、S2、S3、S0,则S1S2S3≥S30,等号成立当且仅当P是△ABC的重心.

作者：沈毅作者单位：重庆市合川太和中学,401555 刊名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 47(12) 分类号：O1 关键词：

篇4：一类积分不等式的推广及其应用

关于一类积分不等式的推广及其应用

本文讨论了一类新的关于两个无关变元积分不等式,所得结论是Pachpatte型的`积分不等式的自然推广,并把主要结果应用于偏微分方程的定性理论中.

作者：康国莲作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院系统所,北京,100080 刊名：工程数学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS 年，卷(期)： 21(5) 分类号：O175 关键词：积分不等式两个无关变元不减

篇5：杨-张不等式的推广及其应用

杨-张不等式的推广及其应用

本文利用杨路和张景中创造的特征根的方法和Darboux定理,将著名的杨-张不等式推广到n维欧氏空间的'两个完全同向的有限质点组中,获得了有限质点组的一类几何不等式,作为其应用,给出了一些新的三角形不等式.

作者：杨定华 YANG Ding-hua 作者单位：四川师范大学数学与软件科学学院,四川,成都,610066;中国科学院成都计算机应用研究所,四川,成都,610041 刊名：数学研究与评论 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH AND EXPOSITION 年，卷(期)： 27(4) 分类号：O184 关键词：单形体积杨-张不等式 Darboux定理几何不等式.

篇6：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

摘要：基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件DD“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力. 关键词：基本不等式限制条件最值应用一、主干知识 1.基本不等式：≤或a+b≥2. （1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0; （2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.基本不等式的拓展：ab≤（），其中a，b∈R. 二、深入探究，加强理解问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值. 解析：∵x＞0“一正” ∴x+≥2=2“二定” 当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等” 故函数y=x+的最小值为2. 点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正DD各项都是正数；二定DD和或积为定值；三相等DD等号能取得”，这三个条件缺一不可．探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值. 解析：∵x＜0，∴-x＞0， ∴x+=-（-x+）≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立. 故函数y=x+的最大值为-2. 变式：设x≠0，求函数y=x+的值域. 解析：∵x≠0，∴|x|＞0， ∴|x+|=|x|+≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立. ∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的.值域为（-∞，-2］∪［2，＋∞）. 另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）. 点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正DD各项都是正数”. 探究2：设a＞1，求a+的最小值. 解析：∵a＞1，∴a-1＞0， ∴a+=a-1++1≥2+1=3，当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立. 故a+的最小值为3. 变式：设0＜a＜1，求的最大值. 解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0， ∴=?≤?=，当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立. 故的最大值为. 点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定DD和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件. 探究3：设t≥2，求t+的最小值. 分析：本题不满足限制条件：“三相等DD等号能取得”，故不能用基本不等式. 解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数，当t=2时，t+的最小值为2. 变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值. 错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2 ∴+≥2=≥8 ∴+的最小值8. 错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解. 正解：∵x＞0，y＞0， ∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4 当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值. 解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0， ∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4，当且仅当=，即x=2-3时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次. 三、高考回放 A组 1.（2009年湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇 ?摇. 2.（2010年重庆高考12）已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇 ?摇. 3.（2011年重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（） A.1+ B.1+ C.3 D.4 A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可. B组 1.（2009年重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（） A.2 B.2 C.4 D.5 2.（2010年四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2011年天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________. B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性. C组 1.（2009年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（） A.2 B. C.1 D. 2.（2010年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________. 3.（2011年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________. C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的应用. 从近几年的高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．预测2012年高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．参考文献：［1］孙翔峰主编.三维设计高考总复习新课标.光明日报出版社，2011.4. ［2］杜志建主编.2007D2011新高考5年真题汇编.新疆青少年出版社.

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