高中阶段的初等数论问题
“打野树里”通过精心收集，向本站投稿了5篇高中阶段的初等数论问题，以下是小编给大家整理后的高中阶段的初等数论问题，欢迎大家前来参阅。
篇1：高中阶段的初等数论问题
【摘要】本文对高中阶段出现的所有整除和余数问题进行了归纳总结，利用数学归纳法、二项式定理和算法等一系列的知识点处理了这些数论问题。事实上数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。
【关键词】初等数论 整除 余数 高中阶段
初等数论是研究整数最基本性质的一门十分重要的数学基础课程，而其中的整除与余数则是初等数论的两个最基本的概念。虽然在高中阶段关于这一块的内容出现等不多，但我们其实已经累积了很多的数论知识和解决数论问题的方法。
我们在高一一开始集合内容的学习中规定了用Z表示整数集合，并且运用中、小学所学到的知识我们还知道任意两个整数的和、差、积仍是整数，即整数集对加、减、乘法运算封闭。
但是两个整数相除，其商不一定是整数，即集合Z中一般不能作除法。设a和b为整数，b≠0，则a/b不一定为整数，即不一定存在整数c，使a=bc。则此时就出现了余数的概念。
带余除法定理：设a ，b 是给定的两个整数，且b≠0，则一定存在唯一的整数q和r，满足a=bq+r ，0≤r<|b|称q和r分别为被除数a除以除数b的商和余数。它是初等数论中最基本、最直接、最重要的工具。
当r=0时，称b整除a，记作b|a，并称a是b的倍数，b是a的.约数(因数)。
当r≠0时，r就称a被b除的余数，记作r=Mod(a，b) 。
在研究了以上初等数论中的整除和余数的相关概念含义和符号表示后，接下来本文会从高中课程中选例，介绍用高中阶段所学的知识点去解决一些数论问题。
一、用数学归纳法证明整除问题
例1.是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)・3n+9对任意正整数n，都能被m整除，若存在，求出最大值，并证明你的结论;若不存在，说明理由。
解：f(1)=(2+7)・3+9=36，f(2)=(4+7)・9+9=108，f(3)=(6+7)・27+9=360，…猜想：f(n)能被36整除。用数学归纳法证明如下：
(1)当 时，n=1 ，f(1)=36能被36整除。
(2)假设当n=k(k∈N*)时， 能被f(k)=(2k+7)・3k+9能被36整除。
那么，当n=k+1时，f(k+1)= [2(k+1)+7]・3k+1+9=[(2k+7)+2]・3.3k+9=3[(2k+7)・3k+9]+18(3k-1-1)。由归纳假设，3[(2k+7)・3k+0 能被36整除，当k为正整数时，3k-1-1为偶数，则18(3k-1-1)能被36整除。所以3[(2k+7)・3k+9]+18(3k-1-1).能被36整除，这就是说当 n=k+1时命题成立。由(1)、(2)知，对任意n∈N*，f(n) 都能被36整除。当m取大于36的正整数时，
f(1)=36不能被m整除，所以36为最大，即 m=36。
点评：本题是与正整数 有关的整除问题，用数学归纳法证明整除问题，关键在于证明当n=k+1成立时，如何是25的倍数，故2n+2・3n+5n-4(n∈N*)能被25整除。
点评：同上题类似，在用二项式定理证明整除问题时，关键也是在于转化为二项展开式来研究，务必注意在展开式中必须有除数的倍数，当然本题也可以用数学归纳法来证明。
三、用算法确定最大公约数
例3.写出求两个正整数a，b (a>b )的最大公约数的一个算法。
求 a，b (a>b )的最大公约数的算法：
S1 输入两个正整数a ，b;
S2 如果Mod(a，b)≠0，那么转S3，否则转S6;
S3 r←Mod(a，b) ;
S4 a←b ;
S5 b←r，转S2;
S6 输出b。
点评：在研究本问题的时候就必须理解欧几里得辗转相除法的基本思想和步骤：给出一列数：a，b，r1，r2…，rn-1 ，rn，0.。这列数从第三项开始，每项都是前两项相除所得的余数，余数为0的前一项rn即是a和b的最大公约数。
本文对高中阶段出现的所有整除和余数问题进行了归纳总结，利用数学归纳法、二项式定理和算法等一系列的知识点处理了这些数论问题。事实上数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。
因此，解决数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。相信对于今天所研究的这一类整除和余数问题在同学们进入大学后可能还会有一些其他的好方法去处理它，在真正接触了初等数论后就会感觉它的无穷魅力了。
参考文献：
[1]杨慧.高中数学教学的“问题链”设计研究[D].上海师范大学..
初等数论中的整除问题【2】
摘 要：整除是初等数论中的基本概念，也是整个数学的基础知识。本文主要讨论了初等数论中的整除问题及应用。
关键词：初等数论 整除 整除特征
整除问题是数学学习的一大方面，无论小学，还是中学，甚至大学数学都有关于整除的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题。以下本文对整除问题进行了整理，以方便关于整除问题的学习。
1 整除的概念
设a，b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数。
如果a=bq里的整数q不存在，我们就说b不能整除a或a不能被b整除，记作ba。注：a，b作除数的其一为0则不叫整除。
2 整除的性质
性质1：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数，即，c|b，b|ac|a。
性质2：若a，b都是c的倍数，则(a+b)也是c的倍数。即，c|a，c|bc|(ab)。
性质3：若，，…，都是m的倍数，，，..是任意n个整数，则+ +…+是m的倍数。即，对，…，Z，有m|++…+。
性质4：几个整数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。即，若a|b，则a|bcd。
性质5：若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。即，若a|b，c|b，(a，c)=1，则ac|b。
性质6：若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
即，若ac|b，(a，c)=1，则a|b，c|b。
性质7：若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。即，若p|ab，则p|a或p|b(p为质数)。
性质8：若a|b，m≠0，则am|bm。
性质9：若am|bm，m≠0，则a|b。
3 整除特征
特征1：任何整数都能被1整除;0能被任何非零整数整除。
特征2：若一个整数的末位数是0、2、4、6、8，则这个整数能被2整除。
特征3：若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
特征4：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
特征5：若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
特征6：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
特征7：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。
特征8：若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
特征9：若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
特征10：若一个整数的末位是0，则这个数就能被10整除。
特征11：若一个整数的奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除，则这个数就能被11整除。
4 整除问题的应用举例
例1：判断123456789这个九位数能否被3，9，11整除?
解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，且 3|45，9|45，
∴这九位数能被3和9整除。
这个九位数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20，∵25―20=5，又∵115，∴11123456789。
例2：设72|，试求的a，b值。
解：72=8×9，且(8，9)=1
∴只需讨论8、9都整除时a，b的值。
∵8|，则8|，由除法可得b=2。
∵9|，则9|(a+6+7+8+2)，得a=3。
∴a=3 b=2
例3：证明3|n(n+1)(2n+1)，其中n是任何整数。
证：法一：n(n+1)(2n+1)
= n(n+1)(n+2+n-1)
= n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)
∵3|n(n+1)(n+2)且3|(n-1)n(n+1)
∴3|〔n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)〕
即：3|n(n+1)(2n+1)。
法二：若n是3的倍数，或n+1是3的倍数，结论显然成立。
若n，n+1都不是3的倍数，则n+2一定是3的倍数，设n+2=3k，k∈Z，则n=3k-2。
∴2n+1=2(3k-2)+1=3(2k-1)，即2n+1是3的倍数。
从而，3|n(n+1)(2n+1)。
例4：设p是质数，证明满足=p的正整数a，b不存在。
证：假定存在正整数a，b使得=p.
令(a，b)=d，a=d，b=d。则(，)=1
∴=，
∵p是质数
p|，令=p，则
∴p=即=p
同理可得，p|即：，都含有p这个因子，与(，)=1矛盾。
∴满足=p的正整数a，b不存在。
以上，通过对整除概念、性质及特征的理解，利用整除的性质和特征解决一些实际问题，为学好初等数论打下坚实基础。本文对整除问题只是稍有整理，对整个整除问题的梳理还有待去解决。
参考文献
[1] 单.初等数论[M].南京：南京大学出版社，.
[2] 闵嗣鹤，严士键.初等数论[M].3版.北京：高等教育出版社，.
[3] 于庆.整除的数字特征―― 小学数学教学中的初等数论问题[J].科学大众(科学教育)，2012(8).
篇2：初等数论的有效教学法
摘 要：初等数论是大学本科数学的专业基础课，但长期得不到足够的重视。
究其原因，除其内容相对简单不受师生重视外，也有课程设置不科学和课堂教学方式方法陈旧等因素。
本文旨在改进教学方法，阐述课堂教学中的经验心得。
归根结底，就是在备课和课堂教学的设计上下工夫，取得理想的教学质量。
关键词：初等数论;教学方法;改进
初等数论是数学专业本科阶段代数系列课程中的一门，与高等代数和近世代数等已得到普遍重视的情况相比，初等数论课程的重要性尚未得到充分的认识，主要体现在课程设置不科学、教学方法陈旧等方面，由此导致教学效果差，教学质量无法提高等诸多问题。
那么，如何改进初等数论课程的教学、改善教学效果，从而提高教学质量?本文仅就教学实践从两个方面谈谈这一问题。
一、在思想上给予初等数论以足够的重视
初等数论是一门古老的学科，主要研究数的性质和方程的整数解，是中等数学中数的理论的继续和提高，是中学数学与大学数学的最好衔接。
尽管其使用的方法是初等的，但应该看到其很多内容及思想为高等代数和近世代数做了很好的铺垫，提供了抽象理论的具体实例。
初等数论为后续的代数提供了一个样板，很多理论都要推广到更一般的情形上去。
在整数集这个熟悉的领域中体会好代数的思想和方法，为将来学习和研究的提升做准备。
更为重要的是目前RSA公钥体制和离散对数体制均来自初等数论，并且正在不断采用数论更为高深的理论成果[1]。
这反映出初等数论在实践应用上的价值。
既然初等数论课程如此重要，那么一些高校数学专业为什么会不重视这门课程?最根本的原因在于这门课程内容表面上相对浅显，教学单位没有从科学的角度来审视初等数论在大学数学教学中的真实作用，低估了它存在的价值，他们认为大学数学应当讲授更为抽象的问题，初等数论的存在比较尴尬，因此，在课程设置上不够突出这门课程的地位。
不但没有将之安排在大一的第一学期讲授，而且有的将其由专业必修课改成大三讲授的选修课。
这种错误的课程设置，抹杀了初等数论这门课衔接中学与大学数学教学的桥梁作用。
此外，大三学生面对相对浅显的数论课程，也确实提不起兴趣，进而影响到教师对这门课程的备课、授课的重视程度。
这种情况冯克勤先生曾经撰文提到过，并且阐述了大一新生开设初等数论课程的理由和积极意义[2]。
遗憾的是十几年过去了，仍没有得到广泛的重视。
现在，我们采纳冯先生的建议尚不算晚，应当在具体的教学计划上做出切实的调整，以便更好地发挥初等数论在大学数学学习与教学中的作用，进而使之在应用领域能为人熟练地应用，实现这门课程的价值。
教师在教学实践上的重视程度和履行情况也至关重要。
教师不但要积极讲授这门课程，而且还要下一番心思认真准备，设计好课堂教学环节，怎样开始，怎样展开，结尾应强调什么，知识点和相关学科知识的联系等，这些环节都极为重要。
教师投入热情，自然就会带动学生的热情，师生互动达成，取得良好的教学效果便水到渠成。
备课充分与否，教师和学生都能体会得到。
二、改进传统的教学方法
传统的教学方法主要集中于教师课堂讲授演算、随时提问的方式。
这种方式立足于教材本身，紧紧围绕教学大纲，中规中矩，对数学专业课程的讲授而言有它的优势。
对初等数论来说，情况就不同了。
上文所言，不科学的课程设置，实际上是将初等数论这门课程置于比较尴尬的地位。
其内容简单，又在大三开设，甚至属于选修课程。
带来的结果是听课的人少，学生和老师的情绪互相影响。
学生认为没什么可听的，过于简单;教师认为学生一看都懂，讲起来也没什么意思，双方的情绪都不高。
这便要求我们必须立足于这门课程在整个大学数学教学中的实际地位，采取相应的更为灵活的教学方式来改变这种状况。
我们通过具体的教学实践，总结了以下一些方法。
(一)增加与基本定义及定理相关内容的介绍
在课堂教学中，对基本定义及定理的背景、来源、研究动机、目的与其应用的讲解是必要的。
要让学生明白为什么要讲这些内容，它们如何得来，有何应用。
如讲质数问题，就要提及整数。
整数是最先接触的数集，都以为整数是最基本的数，但中国古代数学家把质数叫做“数根”，意思是数的根本。
因为任何整数或者是质数，或者是几个质数的积。
古希腊时代的伟大数学家欧几里得在《几何原本》中就已经给出质数的若干性质。
欧几里得给出算术基本定理在普通整数中的证明，后来高斯在复整数集{a+bi|a，b均为整数}中得出证明。
高斯曾经在《算术探究》提过：“区分质数和合数，并且将合数分解成质因子，是算术中最重要又最有意义的问题。”高斯明确指出了质数的重要性。
今天，质数理论不仅在理论上，而且在应用上日益重要。
基于大数分解方案的公开密钥体制在信息安全领域的应用就是一个最好的证明。
把以上的相关内容向学生做一个简略的介绍，一方面，丰富了质数问题的知识含量，另一方面强调了质数问题的重要性。
不但从数学史的角度深化了学生对质数的理解，而且调动了学生学习的积极性。
数学史方面的适度渗透，我们在教学实践中经常会用到，效果良好。
(二)盘点每堂课的主要内容，要求学生多练习
课堂上可能学了很多东西，学生能消化吸收多少?一个学期下来学生又记住了什么?我们自己要经常问自己，更要经常问学生。
换言之，即要求学生每堂课过后要关注教师的总结，也要自己去总结。
课堂上会有一些具体细致的计算与证明，这对领会这门学科的基本方法是必要的，但不能过于执著细的方面，以至于只记得怎样做，而忘了要做什么和为什么要做。
要注重讲系统的方法，并展示这些方法可以解决什么问题，同时说明为解决另一些数学问题还需要进一步发展数学。
可以在每次课的结尾盘点当天的主要内容以加深印象。
但一定要要求学生课下动手做，要多练习，使其具备一定的基本功。
学期末，教师要向学生盘点这门课程的重点内容。
初等数论都能让我们想到什么，哪些是这门课程的精髓。
初等数论的重点是算数基本定理、中国剩余定理、模n的剩余类、欧拉定理(费马定理)、高斯二次互反律等。
(三)营造良好的课堂氛围
相对而言，初等数论这门课内容简单，易于达成师生间的良性沟通，营造出活跃的课堂氛围。
但不同授课内容，学生的反应会有所不同。
有时学生会对某个问题较为敏感，思维也比较活跃，能够积极思维并参与讨论，带动其他同学，带动整个课堂气氛，这样的教学效果肯定是好的。
有时学生会对接受的内容产生诸多疑问，因此，表面上课堂并不活跃，大家都在默默地、积极地思考，沉浸在一种数学的氛围之中。
这种课堂氛围同样能达到理想的授课效果。
(四)调动学生参与到应用数论解决简单的实践活动中去
初等数论课是一门可以充分展示学生个性的课。
作业中会发现对同一个题目，他们可能有很多种做法，应该对他们给予鼓励，使他们有成就感，进一步提高学生学习的积极性。
另外，数论课还可以让学生编一些解决问题的算法。
比如，编程解决素数判定(当然是适当大的数以内的)、最大公因数的求解、一次同余式的求解。
在全班同学范围内编一个密钥表来模仿公开密钥体制给学生发加密信息等。
可以让学生互相比较谁的算法好、速度快，这些既锻炼了学生的编程能力，又提高学生的学习兴趣，同时也培养学生自主学习的能力。
除了上述四个方面外，我们还针对教学中的具体情况采取一些方法。
如针对不同层次学生的需求，如何做到因材施教的问题。
这是涉及既能保证普遍的教学质量，又能注重优秀学生培养的一个老问题[3]。
有的学生天赋好、基础好，常常会有与众不同的想法、问题，要积极引导他们，鼓励他们多读书，读好书。
鼓励他们就感兴趣的问题查阅文献资料，这可能同时涉及其他课程、其他学科，也能拓展他们的知识面，让他们感受到数学的应用以及学科之间的关联。
在初等数论课堂教学改进的过程中，我们发现利用这门课程的教学适时地向学生渗透数学的某些思想是有效果的。
通过这门课程的教与学，很多学生都明白了数学教学的过程是教师引导他们学习前人得到的概念、定理及方法的过程。
这些理论的叙述都是倒叙式的，与前人得到的顺序是相反的。
师生虽然不能完全模拟当年数学家的思维过程，也应尽量一起分析这个问题的产生、可能的解决思路，最终方法的确定，一同回味和享受这个过程。
这一过程对他们更好地理解理论、体会思想、学习方法、培养兴趣都是非常重要的。
另外，这样做有利于培养学生学习的研究能力[4]。
记得有一位老师说过，基础课教学的探讨永无止境。
我们只能探索、改进、再探索、再改进。
参考文献：
[1]冯克勤.高校代数教学的一些实践与思考[C]//大学数学课程报告论坛论文集.北京：高等教育出版社，：49-52.
[2]冯克勤.高校代数课教学的一些作法和看法[J].大学数学，，(5).
[3]曹重光.高等代数课程建设与改革[J].中国科教创新导刊，，(29).
[4]曹重光，张显，唐孝敏，生玉秋.高等代数课程建设与改革[J].黑龙江教育：高教研究与评估，2005，(7).
篇3：初等数论的有效教学法
高等师范学校小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，而初等数论的最基本的内容一直是小学数学的基础内容之一.作为一名数学教师，站在教学要游刃有余的角度上是必须掌握基本的初等数论知识的.为了在初等数论的教学中突出师范教育的特色，本文根据作者自身的教学实践，从三个方面探索了初等数论的有效教学法.
一、在初等数论教学中渗透小学数学教学法
高等师范学校的小学教育专业培养的是将来要从事小学教育的数学教师.而初等数论中的一些基本知识在小学数学教学中的用途是十分广泛的，在初等数论的课堂教学中注重与小学数学教育结合起来，渗透小学数学的教学方法，提高学生的教学能力显得尤为重要.因此，与小学数学联系紧密的内容要放慢节奏详细讲解.
整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容，许多时候需要学生直接借助概念进行思维，而对于以形象思维为主的小学生来说，这部分内容是难点.初等数论的教材中需要利用同余的知识来证明整除的数字特征，而这在小学数学教学中显然是不适用的，小学生大多还没有接触过同余的知识，那在课堂上应该如何引导小学生来理解这些整除的数字特征呢?这需要教师对整除的性质有一个全面的了解.
在课堂教学中渗透小学数学的教学方法可以使学生比较扎实地在较高层次上掌握小学数学的一些知识，进而提高学生的数学教学能力.
二、在初等数论教学中补充小学数学竞赛题
初等数论教材中有许多古代数学名题，如“百鸡问题”“鸡兔同笼”等都是小学数学的趣味题，容易引起学生的学习兴趣.在初等数论的相关章节中可以适当补充一些小学数学竞赛试题.例如，介绍带余除法时可以举例：
“某数除以3余2，除以4余1，该数除以12余几?”介绍奇偶分析时列举几个大家熟知的“翻茶杯”“放硬币”“报数游戏”等富有生活情趣的小学竞赛题.介绍最大公约数和最小公倍数时可以补充如下例题：一块长方形地，长24871厘米，宽3468厘米，要截成若干个同样大小正方形的地块，不能有剩余且正方形的边长要尽可能的大.问：这样的正方形边长是多少厘米?
在讲授求解不定方程的内容时，给出如下充满生活气息的应用题：(1)150个乒乓球，分装在大、小两种盒子里，大盒装12个球，小盒装7个球，问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完?(2)某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环上，问：他命中10环、7环、5环各几发?在讲质因数分解定理的应用时，举例：如果935×972×975×__________结果末4位为0，__________中最小填什么数?在同余的应用时，举例：今天星期四，再过4734天是星期几?
在进行课堂讲授时结合小学数学教会学生解题方法，让学生体会到解题的乐趣，深刻体会到初等数论是一门非常有用的课程.如果能再介绍一些与小学数学有关的趣味史料，则效果更佳.
三、在初等数论教学中培养学生的授课能力
师范学校小学教育专业担负着培养小学数学教师的重任，因此初等数论的课堂教学应加强学生理论知识的掌握，致力于学生数学素质的培养.初等数论教材中的部分内容，如整除的概念与性质、质数与合数、奇数与偶数、公因数与公倍数、同余等知识，其他课程中已有涉及，学生已有一定的了解，只是在初等数论教材中把它们进一步理论化、系统化而已，在讲授这些内容时可以让学生在自学的基础上，分组讨论后尝试写出教案，再选出一两名代表上台讲授，然后由学生自己对这节课的教学内容和方法进行评论，最后由教师进行总结、补充和点拨，尤其要注重学生的课堂讲课与课后评论这两个环节.
这样的教学，不但能激发学生学习初等数论的兴趣和积极性，更能提高学生的.授课能力，为学生以后走上讲台提供了一个很好的展示平台，可谓一举两得.而其他与小学教学联系不太紧密的内容可以粗略地讲，尤其是太高深的数论理论，对小学教育专业的学生不必要求太高，否则会使学生望而却步.
要教好初等数论这门课，教师在备课过程中要认真钻研教材，充分利用网络资源，在课堂教学中针对师范学校的培养目标，突出师范教育的特色，渗透小学数学教学方法，引入小学数学竞赛题目，并让学生尝试教学提高授课能力，使学生在初等数论的课堂上能学有所得，收获学习知识的快乐.
【参考文献】
[1]潇湘数学教育工作室.站在皇冠顶上看风景(二)——数学教师要掌握一点初等数论知识[J].湖南教育(下)，(5).
[2]单墫，主编.初等数论[M].南京：南京大学出版社，：20-27.
[3]王丽敏，王丽丽.浅谈初等数论的教学改革[J].安阳师范学院学报，2011.
[4]原新生.突出师范特色 改革初等数论教学[J].教育与职业，(8).
[5]沈利玲.提高小学教育专业初等数论课的教学效果[J].赤峰学院学报(自然科学版)，(12).
篇4：初等数论课程教学的改进论文
初等数论课程教学的改进论文
初等数论课程教学的改进论文【1】
摘 要：初等数论是大学本科数学的专业基础课，但长期得不到足够的重视。
究其原因，除其内容相对简单不受师生重视外，也有课程设置不科学和课堂教学方式方法陈旧等因素。
本文旨在改进教学方法，阐述课堂教学中的经验心得。
归根结底，就是在备课和课堂教学的设计上下工夫，取得理想的教学质量。
关键词：初等数论;教学方法;改进
初等数论是数学专业本科阶段代数系列课程中的一门，与高等代数和近世代数等已得到普遍重视的情况相比，初等数论课程的重要性尚未得到充分的认识，主要体现在课程设置不科学、教学方法陈旧等方面，由此导致教学效果差，教学质量无法提高等诸多问题。
那么，如何改进初等数论课程的教学、改善教学效果，从而提高教学质量?本文仅就教学实践从两个方面谈谈这一问题。
一、在思想上给予初等数论以足够的重视
初等数论是一门古老的学科，主要研究数的性质和方程的整数解，是中等数学中数的理论的继续和提高，是中学数学与大学数学的最好衔接。
尽管其使用的方法是初等的，但应该看到其很多内容及思想为高等代数和近世代数做了很好的铺垫，提供了抽象理论的具体实例。
初等数论为后续的代数提供了一个样板，很多理论都要推广到更一般的情形上去。
在整数集这个熟悉的领域中体会好代数的思想和方法，为将来学习和研究的提升做准备。
更为重要的是目前RSA公钥体制和离散对数体制均来自初等数论，并且正在不断采用数论更为高深的理论成果[1]。
这反映出初等数论在实践应用上的价值。
既然初等数论课程如此重要，那么一些高校数学专业为什么会不重视这门课程?最根本的原因在于这门课程内容表面上相对浅显，教学单位没有从科学的角度来审视初等数论在大学数学教学中的真实作用，低估了它存在的价值，他们认为大学数学应当讲授更为抽象的问题，初等数论的存在比较尴尬，因此，在课程设置上不够突出这门课程的地位。
不但没有将之安排在大一的第一学期讲授，而且有的将其由专业必修课改成大三讲授的选修课。
这种错误的课程设置，抹杀了初等数论这门课衔接中学与大学数学教学的桥梁作用。
此外，大三学生面对相对浅显的数论课程，也确实提不起兴趣，进而影响到教师对这门课程的备课、授课的重视程度。
这种情况冯克勤先生曾经撰文提到过，并且阐述了大一新生开设初等数论课程的理由和积极意义[2]。
遗憾的是十几年过去了，仍没有得到广泛的重视。
现在，我们采纳冯先生的建议尚不算晚，应当在具体的教学计划上做出切实的调整，以便更好地发挥初等数论在大学数学学习与教学中的作用，进而使之在应用领域能为人熟练地应用，实现这门课程的`价值。
教师在教学实践上的重视程度和履行情况也至关重要。
教师不但要积极讲授这门课程，而且还要下一番心思认真准备，设计好课堂教学环节，怎样开始，怎样展开，结尾应强调什么，知识点和相关学科知识的联系等，这些环节都极为重要。
教师投入热情，自然就会带动学生的热情，师生互动达成，取得良好的教学效果便水到渠成。
备课充分与否，教师和学生都能体会得到。
二、改进传统的教学方法
传统的教学方法主要集中于教师课堂讲授演算、随时提问的方式。
这种方式立足于教材本身，紧紧围绕教学大纲，中规中矩，对数学专业课程的讲授而言有它的优势。
对初等数论来说，情况就不同了。
上文所言，不科学的课程设置，实际上是将初等数论这门课程置于比较尴尬的地位。
其内容简单，又在大三开设，甚至属于选修课程。
带来的结果是听课的人少，学生和老师的情绪互相影响。
学生认为没什么可听的，过于简单;教师认为学生一看都懂，讲起来也没什么意思，双方的情绪都不高。
这便要求我们必须立足于这门课程在整个大学数学教学中的实际地位，采取相应的更为灵活的教学方式来改变这种状况。
我们通过具体的教学实践，总结了以下一些方法。
(一)增加与基本定义及定理相关内容的介绍
在课堂教学中，对基本定义及定理的背景、来源、研究动机、目的与其应用的讲解是必要的。
要让学生明白为什么要讲这些内容，它们如何得来，有何应用。
如讲质数问题，就要提及整数。
整数是最先接触的数集，都以为整数是最基本的数，但中国古代数学家把质数叫做“数根”，意思是数的根本。
因为任何整数或者是质数，或者是几个质数的积。
古希腊时代的伟大数学家欧几里得在《几何原本》中就已经给出质数的若干性质。
欧几里得给出算术基本定理在普通整数中的证明，后来高斯在复整数集{a+bi|a，b均为整数}中得出证明。
高斯曾经在《算术探究》提过：“区分质数和合数，并且将合数分解成质因子，是算术中最重要又最有意义的问题。”高斯明确指出了质数的重要性。
今天，质数理论不仅在理论上，而且在应用上日益重要。
基于大数分解方案的公开密钥体制在信息安全领域的应用就是一个最好的证明。
把以上的相关内容向学生做一个简略的介绍，一方面，丰富了质数问题的知识含量，另一方面强调了质数问题的重要性。
不但从数学史的角度深化了学生对质数的理解，而且调动了学生学习的积极性。
数学史方面的适度渗透，我们在教学实践中经常会用到，效果良好。
(二)盘点每堂课的主要内容，要求学生多练习
课堂上可能学了很多东西，学生能消化吸收多少?一个学期下来学生又记住了什么?我们自己要经常问自己，更要经常问学生。
换言之，即要求学生每堂课过后要关注教师的总结，也要自己去总结。
课堂上会有一些具体细致的计算与证明，这对领会这门学科的基本方法是必要的，但不能过于执著细的方面，以至于只记得怎样做，而忘了要做什么和为什么要做。
要注重讲系统的方法，并展示这些方法可以解决什么问题，同时说明为解决另一些数学问题还需要进一步发展数学。
可以在每次课的结尾盘点当天的主要内容以加深印象。
但一定要要求学生课下动手做，要多练习，使其具备一定的基本功。
学期末，教师要向学生盘点这门课程的重点内容。
初等数论都能让我们想到什么，哪些是这门课程的精髓。
初等数论的重点是算数基本定理、中国剩余定理、模n的剩余类、欧拉定理(费马定理)、高斯二次互反律等。
(三)营造良好的课堂氛围
相对而言，初等数论这门课内容简单，易于达成师生间的良性沟通，营造出活跃的课堂氛围。
但不同授课内容，学生的反应会有所不同。
有时学生会对某个问题较为敏感，思维也比较活跃，能够积极思维并参与讨论，带动其他同学，带动整个课堂气氛，这样的教学效果肯定是好的。
有时学生会对接受的内容产生诸多疑问，因此，表面上课堂并不活跃，大家都在默默地、积极地思考，沉浸在一种数学的氛围之中。
这种课堂氛围同样能达到理想的授课效果。
(四)调动学生参与到应用数论解决简单的实践活动中去
初等数论课是一门可以充分展示学生个性的课。
作业中会发现对同一个题目，他们可能有很多种做法，应该对他们给予鼓励，使他们有成就感，进一步提高学生学习的积极性。
另外，数论课还可以让学生编一些解决问题的算法。
比如，编程解决素数判定(当然是适当大的数以内的)、最大公因数的求解、一次同余式的求解。
在全班同学范围内编一个密钥表来模仿公开密钥体制给学生发加密信息等。
可以让学生互相比较谁的算法好、速度快，这些既锻炼了学生的编程能力，又提高学生的学习兴趣，同时也培养学生自主学习的能力。
除了上述四个方面外，我们还针对教学中的具体情况采取一些方法。
如针对不同层次学生的需求，如何做到因材施教的问题。
这是涉及既能保证普遍的教学质量，又能注重优秀学生培养的一个老问题[3]。
有的学生天赋好、基础好，常常会有与众不同的想法、问题，要积极引导他们，鼓励他们多读书，读好书。
鼓励他们就感兴趣的问题查阅文献资料，这可能同时涉及其他课程、其他学科，也能拓展他们的知识面，让他们感受到数学的应用以及学科之间的关联。
在初等数论课堂教学改进的过程中，我们发现利用这门课程的教学适时地向学生渗透数学的某些思想是有效果的。
通过这门课程的教与学，很多学生都明白了数学教学的过程是教师引导他们学习前人得到的概念、定理及方法的过程。
这些理论的叙述都是倒叙式的，与前人得到的顺序是相反的。
师生虽然不能完全模拟当年数学家的思维过程，也应尽量一起分析这个问题的产生、可能的解决思路，最终方法的确定，一同回味和享受这个过程。
这一过程对他们更好地理解理论、体会思想、学习方法、培养兴趣都是非常重要的。
另外，这样做有利于培养学生学习的研究能力[4]。
记得有一位老师说过，基础课教学的探讨永无止境。
我们只能探索、改进、再探索、再改进。
参考文献：
[1]冯克勤.高校代数教学的一些实践与思考[C]//大学数学课程报告论坛论文集.北京：高等教育出版社，：49-52.
[2]冯克勤.高校代数课教学的一些作法和看法[J].大学数学，，(5).
[3]曹重光.高等代数课程建设与改革[J].中国科教创新导刊，，(29).
[4]曹重光，张显，唐孝敏，生玉秋.高等代数课程建设与改革[J].黑龙江教育：高教研究与评估，2005，(7).
初等数论的教学实践与思考【2】
近年来，初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域得到了广泛的应用，同时近代数学中许多重要的思想、概念、方法与技巧都是从对整数性质的深入研究中不断丰富和发展起来的。
因此，学习这门课程对学生来说非常重要，与其它数学专业课程比较来看，初等数论似乎很简单，但根据其涉及的题目却形式多样，解题时需要一定的技巧，所以真正教好、学好它并不容易。
如何调动学生学习的积极性，在教学过程中如何启发引导学生，提高初等数论的教学效果，对学生进一步的学习和毕业以后的教学研究和实践有重要的意义。
一、挖掘教材中的隐性知识，拓宽学生知识面
教材中的知识可以分成两类：一类是表述相对明显，能被学生直接解读、理解的知识;另一类是没有直接表述出来的知识，需要经过教师的点拨、讲解才能彰显出来，才能被学生理解，即我们通称的隐性知识。
在注重知识应用能力培养的今天，教师很有必要在教学实践中对教材中的隐性知识进行充分的挖掘。
《初等数论》的内容简明、语言精练，由此造成了不少的隐性知识。
篇5：浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文
例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分是照搬数学系所用的题目，或者是为了应用某个定理而生造一些例题和练习题，因而很多例题和练习题不适合小学教育专业，尤其是与小学数学教学没有多少联系。
初等数论课程的特点是“定理本身易懂，但其证明难懂”，“例题难懂，练习题难做”.多年的教学实践表明，小学教育专业的学生学习初等数论的困难，不仅在学习有关知识，而且也在运用这些知识去解决问题，也就是练习题难做，所以例题和练习题的配置是小学教育初等数论教材改革中需要认真研究的一个重要方面。
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