不等式和它的基本性质教学设计
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篇1：不等式和它的基本性质教学设计
知识与技能：
理解并掌握不等式的三个性质，能运用性质，用不等号连接某些代数式，进行不等式的变形。
过程与方法：
经历自主学习，小组交流合作学习，以及课堂上的成果汇报，培养学生自主分析问题，解决问题的能力，养成与他人交流，共同学习，共同进步的学习方法。
情感态度与价值观：在自主分析，交流合作，成果汇报的活动中，感受学习的乐趣，体会与人合作的快乐。
教学难点 ：
正确运用不等式的性质。
教学重点：
理解并掌握不等式的性质3。
教学过程：
一、创设情境 引入新课
利用一台平衡的天平提出问题，引入新课
1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？
2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。
二、合作交流 探究新知
1、问题情景：数学老师比 语文老师年龄小。
1、后谁的年龄大？
2、之后呢？
3、5年之前呢？
假设数学，语文两位老师的年龄分别为a，b ，则a < b
a+10 < b+10
a+20 < b+20
a―5 < b―5
2、探索与发现
一组： 已知5>3，则5+2 3+2
5―2 3―2
二组：已知―1<3则― 1+23+2
―1―33―3
想一想不等号的方向改变吗？
3、归纳：不等式的性质1：
不等式两边都加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
如果a＜b，那么a+c 如果a＞b，那么a+c >b+c， a―c >b―c。 不等号方向不改变！ 4、大胆猜想 不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变 不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变 不等式两边都乘（或除以）同一个数（不为零）， 不等号的方向呢？ 5、探索与发现 已知4<6，则 一组：4×2 < 6×2； 二组： 4×（―2） > 6×（―2）； 4÷2<6÷2；4÷（―2）>6÷（―2）。 思考不等号方向改变吗？ 不等式两边都乘（或除以）一个不为零的数，不等号方向改不改变和什么有关？ 6、不等式的性质2： 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果a>b， 且c>0，那么ac>bc， 如果a0，那么ac < bc， 7、不等式的性质3： 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果a>b， 且c<0，那么ac 如果a 三、巩固提高 拓展延伸 例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么（学生口答） （1）因为7。5＞5。7，所以―7。5＜―5。7； （2）因为a+8＞4，所以a＞―4； （3）因为4a＞4b，所以a＞b； （4）因为―1＞―2，所以―a―1＞―a―2； （5）因为3＞2，所以3a＞2a． （1）正确，根据不等式基本性质3． （2）正确，根据不等式基本性质1． （3）正确，根据不等式基本性质2． （4）正确，根据不等式基本性质1． （5）不对，应分情况逐一讨论． 当a＞0时，3a＞2a．（不等式基本性质2） 当 a=0时，3a=2a． 当a＜0时，3a＜2a．（不等式基本性质3） 考考你！ 0>4，哪里错了？ 已知m>n，两边都乘以4，得4m>4n， 两边都减去4m，得0>4n―4m， 即0>4（n―m）， 两边同时除以（n―m），得0>4。 等式与不等式的性质 1。不等式的三个性质。 2。等式与不等式的性质对比。 先前后比较，再定不等号 四、总结归纳 1、等式性质与不等式性质的不同之处； 2、在运用“不等式性质3“时应注意的问题． 学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础。 五、布置作业 1、必做题：教科书第134页习题9。1第4、5题 2、选做题：教科书第134页习题9。 1第7题． 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1、使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。 2、灵活运用不等式的基本性质进行不等式形。 （二）能力训练点 培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力。 （三）德育渗透点 培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神。 （四）美育渗透点 通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操。 二、学法引导 1、教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法。 2、学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握。 三、重点・难点・疑点及解决办法 （一）重点 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3。 （二）难点 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形。 （三）疑点 弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点。 （四）解决办法 讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键。 四、课时安排 一课时 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片。 六、师生互动活动设计 1、通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质。 2、通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质。 3、通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育。 七、教学步骤 （一）明确目标 本节课主要学习不等式的.三条基本性质并能熟练地加以应用。 （二）整体感知 通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式。不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立。但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向。这是在不等式变形时应特别注意的地方。 （三）教学过程 1。创设情境，复习引入 什么是等式？等式的基本性质是什么？ 学生活动：独立思考，指名回答。 教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式。 请同学们继续观察习题： （1）用“＞”或“＜”填空。 ①7+3____4+3 ②7+（―3）____4+（―3） ③7×3____4×3 ④7×（―3）____4×（―3） （2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？ 学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误。 【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备。 不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质。 学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质。 教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变。” 师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书。 不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？ 学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，―3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论。 【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？ 师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书。 不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 师生活动：将不等式―2＜6两边都加上7，―9，两边都乘3，―3试一试，进一步验证上面得出的三条结论。 学生活动：看课本第57~58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记。 强调：要特别注意不等式基本性质3。 实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“+”、“―”、“×”、“÷”四则运算，当进行“+”、“―”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变。 不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？ 学生活动：思考、同桌讨论。 归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似。下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质。 ①若 ，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？ 不等式和它的基本性质教学设计 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． 2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形． （二）能力训练点 培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力． （三）德育渗透点 培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神． （四）美育渗透点 通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质 教学设计方案(二)。 二、学法引导 1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法． 2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 三、重点·难点·疑点及解决办法 （一）重点 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． （二）难点 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形． （三）疑点 弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的`关系是学生学习的疑点． （四）解决办法 讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键． 四、课时安排 一课时 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质． 2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质． 3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育． 七、教学步骤 （一）明确目标 本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用． （二）整体感知 通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方． （三）教学过程 1．创设情境，复习引入 什么是等式？等式的基本性质是什么？ 学生活动：独立思考，指名回答． 教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式． 请同学们继续观察习题： （1）用“＞”或“＜”填空． ①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3） ③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3） （2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？ 学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误． 【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备． 不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质． 学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质． 教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．” 师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书． 不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？ 学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论． 【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？ 师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书． 不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论． 学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记． 强调：要特别注意不等式基本性质3． 实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变． 不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？ 学生活动：思考、同桌讨论． 归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质． ①若 ，则 ， ； ②若 ，且 ，则 ， ； ③若 ，且 ，则 ， ． 师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用． 注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若 ，则 ．②若 ，且 ，则 ，这些先不要向学生说明． 2．尝试反馈，巩固知识 请学生先根据自己的理解，解答下面习题． 例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式． （1） （2） （3） （4） 学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果． 教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确． 解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变． 所以 （2）根据不等式基本性质1，两边都减去 ，得 （3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得 （4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得 【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与 或 对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范． 例2 设 ，用“＜”或“＞”填空． （1） （2） （3） 学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照． 解：（1）因为 ，两边都减去3，由不等式性质1，得 （2）因为 ，且2＞0，由不等式性质2，得 （3）因为 ，且－4＜0，由不等式性质3，得 教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励． 注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处． 【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力． 3．变式训练，培养能力 （1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．） ①∵ ∴ （ ） ②∵ ∴ （ ） ③∵ ∴（ ） ④∵ ∴（ ） ⑤∵ ∴ ⑥∵ ∴ （ ） 学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛． 答案： ① （A） ② （B） ③ （C） ④ （C） ⑤ （C） ⑥ （A） 【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向． （2）单项选择： ①由 得到 的条件是（ ） A． B． C． D． ②由由 得到 的条件是（ ） A． B． C． D． ③由 得到 的条件是（ ） A． B． C． D． 是任意有理数 ④若 ，则下列各式中错误的是（ ） A． B． C． D． 师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由． 答案：①A ②D ③C ④D （3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×” ①∵ ∴ ( ) ②∵ ∴ ( ) ③∵ ∴ ( ) ④若，则 ∴，( ) 学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误． 答案：①√ ②× ③√ ④× 【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚． （四）总结、扩展 1．本节重点： （1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3． （2）能正确应用性质对不等式进行变形． 2．注意事项： （1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点． （2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论． 3．考点剖析： 不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题． 八、布置作业 （一）必做题：P61 A组4，5． （二）选做题：P62 B组1，2，3． 参考答案 （一）4．（1） （2） （3） （4） 5．（1） （2） （3） （4） （5） （6） （二）1．（1） （2） （3） 2．（1） （2） （3） （4） 3．（1） （2） （3） 九、板书设计 6.1 不等式和它的基本性质（二） 一、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 若 ，则 ， ． 2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若 ， ，则 ． 3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若 ， ，则 ． 二、应用 例1 解（1）（2） （3）（4） 例2 解（1）（2） （3） 三、小结 注意不等式性质3的应用． 四、背景知识与课外阅读 盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的 ，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？ 不等式和它的基本性质（1） 数学教案－不等式和它的基本性质 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节教学的重点是不等式的三条基本性质．难点是不等式的基本性质3．掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式（组）的解法等后续知识的基础． 1．不等式的概念 用不等号（“＜”、“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式． 另外， （“≥”是把“＞”、“＝”）结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”）、 （“≤”是把“＜”、“＝”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式． 2．当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式．但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同．因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向． 3．不等式成立与不等式不成立的意义 例如：在不等式 中，字母 表示未知数．当 取某一数值 时， 的值小于2，我们就说当 时，不等式 成立；当 取另外某一个数值 时， 的值不小于2，我们就说当 时， 不等式不成立． 4．不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意． 一、素质教育目标 （－）知识教学点 1．了解不等式的意义． 2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法． 3．能依题意准确迅速地列出相应的不等式． （二）能力训练点 1．培养学生运用类比方法研究相关内容的能力． 2．训练学生运用所学知识解决实际问题的能力． （三）德育渗透点 通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识． （四）美育渗透点 通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美． 二、学法引导 1．教学方法：观察法、引导发现法、讨论法． 2．学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用． 三、重点·难点·疑点及解决办法 （一）重点 掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式． （二）难点 依题意列出正确的不等式 （三）疑点 如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号． （四）解决方法 在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式． 四、课时安排 一课时． 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．创设情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的.学习，激发学生的学习热情． 2．从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式． 3．从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力． 七、教学步骤 （一）明确目标 本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式． （二）整体感知 通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式． （三）教学过程（） 1．创设情境，复习导入 我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答： （1）什么是等式？等式中“＝”两侧的代数式能否交换？“＝”是否具有方向性？ （2）已知数值：－5， ，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式 成立？哪些使等式 不成立？ 学生活动：首先自己思考，然后指名回答． 教师释疑：①“＝”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解 ． ②判断数取何值，等式 成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程 的解，因为等式 为一元一次方程，它只有惟一解 ，所以等式 只有在 时成立，此外，均不成立． 【教法说明】设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备． 2．探索新知，讲授新课 不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题？ 师生活动：教师演示课本第54页天平称物重的两个实例（同时指出演示中物重为 克，每个砝码重量均为1克），学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等． 【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣． 在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示．那么什么是不等式呢？请看： ， ， ， ， 提问：（l）上述式子中有哪些表示数量关系的符号？（2）这些符号表示什么关系？（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗？（4）什么叫不等式？ 学生活动：观察式予，思考并回答问题． 答案：（1）分别使用“＜”“＞”“≠”．（2）表示不等关系．（3）不可以随意互换位置．（4）用不等号表示不等关系的式子叫不等式． 不等号除了“＜”“＞”“≠”之外，还有无其他形式？ 学生活动：同桌讨论，尝试得到结论． 教师释疑：①不等号除“＜”“＞”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式（“≥”是指“＞”与“＝”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）现在，我们来研究用“＞”“＜”表示的不等式． ②不等号“＞”“＜”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如 ，不能写成 ． 【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用． ②通过教师释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解． 3．尝试反馈，巩固知识 同类量之间的大小关系常用“＞”“＜”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题． （1）用“＜”或“＞”境空．（抢答） ①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4． （2）用不等式表示： ① 是正数；② 是负数；③ 与3的和小于6；④ 与2的差大于－1；⑤ 的4倍大于等于7；⑥ 的一半小于3． （3）学生独立完成课本第55页例1． 注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明． 学生活动：第（l）题抢答；第（2）题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生判断板演是否正确 教师活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励． 【教法说明】①第（1）题是为了调动积极性，强化竞争意识；第（2）题则是为了训练学生书面表述能力． ②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示． 下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题： 已知数值；－5， ，3，0，2，－2.5，5.2； （1）判断：上述数值哪些使不等式 成立？哪些使 不成立？ （2）说出几个使不等式 成立的 的数值；说出几个使 不成立的 数值． 学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案． 教师活动：引导学生回答，使未知数 的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数． 师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立；否则不成立．例如对于 ；当 时， 的值小于6，就说 时不等式 成立；当 时， 的值不小于6，就说 时， 不成立． 【教法说明】通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛． 4．变式训练，培养能力 （1）当 取下列数值时，不等式 是否成立？ －7，0，0.5，1， ，10 （2）①用不等式表示： 与3的和小于等于（不大于）6； ②写出使上述不等式成立的几个 的数值； ③ 取何值时，不等式 总成立？取何值时不成立？ 学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正；教师抽查，强调注意事项． 【教法说明】 ①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6.2讲解不等式的解集做准备． ②强化思维能力和归纳总结能力． （四）总结、扩展 学生小结，师生共同完善： 本节课的重点内容：1．掌握不等式是否成立的判断方法；2．依题意列出正确的不等式． 注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，这一点学生容易出现错误． 八、布置作业 （一）必做题：P61 A组1，2，3． （二）选做题： 1．单项选择 （1）绝对值小于3的非负整数有（ ） A．1，2 B．0，1 C．0，1，2 D．0，1，3 （2）下列选项中，正确的是（ ） A． 不是负数，则 B． 是大于0的数，则 C． 不小于－1，则 D． 是负数，则 2．依题意列不等式 （1） 的3倍与7的差是非正数 （2） 与6的和大于9且小于12 （3）A市某天的最低气温是－5℃，最高气温是10℃，设这天气温为 ℃，则 满足的条件是____________________． 【设计说明】1．再现本节重点，巩固所学知识． 2．有层次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质教育的具体体现． 参考答案 1．＜，＜，＞，＞，＜，＜ 2．5.2，6，8.3，11是 的解，－10，－7，－4. 5，0，3不是解 3．（1） （2） （3） （4） （二）1．（1）C （2）D 2．（1） （2） （3） 九、板书设计 6.1 不等式和它的基本性质（一） 一、什么叫不等式？ 用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式． 重点研究“＞”“＜” 二、依题意列不等式 “大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”； 三、不等式 能否成立 时， （√）； 时， （×）； 时， （×） 四、归纳总结重点 （一）依题意列不等式． （二）会判断不等式是否成立． 十、背景知识与课外阅读 费 马 数 费马（P．de Fermat）是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献．他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世．去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书．费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等． 费马于1640年前后，在验算了形如 的数当 的值分别为 3，5，17，257，65537 后（请注意这些数均为质数）便宣称：对于为任何自然数，是质数． 大约过了1，1732年数学家欧拉（L．Euler）指出 ． 从而否定了费马的上述结论（猜想）． 尔后，人们又对 进行了大量研究，发现在 中，除了上述五个质数外，人们尚未再发现新的质数． 虽然费马的这个猜想是错误的，但为了纪念这位数学家，人们仍把这种形式的数叫做费马数． 教学目的 掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形，数学教案－不等式基本性质。 教学过程 师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？ 第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7. 第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4. 生：第一组都是等式，第二组都是不等式。 师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？ 生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。 师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。 前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？ 生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。 师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的'两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习，初中数学教案《数学教案－不等式基本性质》。 练习1 (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。 （1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6 练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。 （1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？ （2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？ （3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？ 生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！ 师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？ 生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。 师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。 练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变： 7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。 师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条： 性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。 （让同学回答。） 性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。） 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。） 现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。 不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。 生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。 师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？ 生：没有什么要求。 《不等式的基本性质》它是北师大版八年级下册第一章第二节的内容。今天我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法，教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法： 本节内容不等式，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用。 根据《新课程标准》的要求，教材的`内容兼顾我校八年级学生的特点，我制定了如下教学目标： 知识与技能： 1. 感受生活中存在的不等关系，了解不等式的意义。 2. 掌握不等式的基本性质。 过程与方法：经历不等式的基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 情感态度与价值观：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步符号感与数学化的能力。 教学重难点： 难点：不等式基本性质3 教法与学法： 1. 教学理念： “ 人人学有用的数学” 2. 教学方法：观察法、引导发现法、讨论法． 3. 教学手段：多媒体应用教学 4. 学法指导：尝试，猜想，归纳，总结 根据《数学课程标准》的要求，教材和学生的特点，我制定了以下四个教学环节。 下面我将具体的教学过程阐述一下： 一、创设情境，导入新课 上课伊始，我将用一个公园买门票如何才划算的例子导入课题。 世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名团员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？ （此处学生是很容易得出买30张门票需要4X30=120（元）, 买27张门票需要5X27=135（元）,由于120〈135，所以买30张门票比买27张还要划算。由此建立了一个数与数之间的不等关系式） 紧接着进一步提问：若人数是x时，又当如何买票划算？ 二、探求新知，讲授新课 引例列出了数与数之间的不等关系和含有未知量120<5x的不等关系。那么在不等式概念提出之前，先让学生回顾等式的概念，“类比”等式的概念，尝试着去总结归纳出不等式的概念。使学生从一个低起点，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心，为下面的学习调动了积极。 接下来我用一组例题来巩固一下对不等式概念的认知，把表示不等量关系的常用关键词提出。 （1）a是负数； （2）a是非负数； (3) a与b的和小于5； (4) x与2的差大于－1； (5) x的4倍不大于7； (6) 的一半不小于3 关键词：非负数，非正数，不大于，不小于，不超过，至少 回到引入课题时的门票问题120<5x，我们希望知道X的取植范围，则须学习不等式的性质，通过性质的学习解决X的取植 难点突破：通过上面三组算式，学生已经尝试着归纳出不等式的三条基本性质了。不等式性质3是本节的难点。在不等式性质3用数探讨出以后，换一个角度让学生想一想，是否能在数轴上任取两个点，用相反数的相关知识挖掘一下，乘以或除以一个负数时，任意两个数比较是否性质3都成立。通过“数形结合”的思想，使数的取值从特殊化到一般化，从对具体数的感知完成到字母代替数的升华。让学生用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度。同时，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。 反馈练习：用一个小练习巩固三条性质。 如果a>b，那么 (1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b 提出疑问，我们讨论性质2，3是好象遗忘了一个数0。 引出让学生归纳，等式与不等式的区别与联系 三、拓展训练 根据不等式基本性质，将下列不等式化为“<”或“>”的形式 （1）x-1<3 （2）6x<5x-2 （3）x/3<5 -4x=”">3 再次回到开头的门票问题，让学生解出相应的x的取值范围 四、小结 1．新知识 一个数学概念；两种数学思想；三条基本性质 2.与旧知识的联系 等式性质与不等式性质的异同 五、作业的布置 以上是我对这节课的教学的看法，希望各位专家指正。谢谢！ “让学生主动参与数学教学的全过程，真正成为学习的主人” 八年级《不等式的基本性质》教学设计 【教学重点与难点】 教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． 教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形． 【教学目标】 1、 探索并掌握不等式的基本性质 2、 会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】 通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 【教学过程】 一、创设情境 复习引入 （设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的.知识准备．） 问题：1、什么是等式？等式的基本性质是什么？ 2、 什么是不等式？ 3、 用“＞”或“＜”填空． （1）7＞3 （2）-1<3 7+5 3+5 -1+2 3+2 7-5 3-5 -1-4 3-4 （教学说明： 复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.） 二、师生互动，探索新知 1、不等式的基本性质 问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质 先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质. 观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1： 不等式基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关？由学生概括总结，教师补充完善得出： 不等式基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个不为零的正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个不为零的负数，不等号的方向改变． 2、图形演示 通过PPT用图形演示不等式的基本性质，让学生更加清楚地认识不等式的基本性质。 3、拓展及应用 提问：不等式有对称性吗？ 不等式有传递性吗？ 【学生通过讨论能够比较容易得出结论：不等式有对称性，但要注意其不等号方向的变化；不等式也有传递性，但要注意的是同向传递性。】 三、巩固训练，熟练技能： 1、（1） a - 3____b - 3； （2） a÷3____b÷3 （3） 0.1a____0.1b; (4) -4a____-4b (5) 2a+3____2b+3; (6) (m2+1) a ____ (m2+1)b (m为常数) 【本题目采用提问的方式，因为内容相对简单，所以可以迅速得到结论。要让提问者说清楚答案，并说明利用不等式的性质几来进行判定的。】 2、判断下列各题的推导是否正确？为什么 (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a． 【学生口答，并说明为什么。本题重点是第5小题，要引导学生总结出a的取值会影响到答案。当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a．当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3) 】 3、独立完成习题 学生自己完成以下题目，之后进行集体讲解。 (1)如果x-5>-1，那么______________________，得：x>4 (2)如果-2x>3，那么那么______________________，得X=______ 四、小结 师生共同小结本节课所学重点，不等式的基本性质的具体内容。 五、作业、 习题2.2 一、教学目标： （一）知识与技能 1．掌握不等式的三条基本性质。 2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。 （二）过程与方法 1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。 2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。 （三）情感态度与价值观 通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。 二、教学重难点 教学重点： 探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。 教学难点： 不等式基本性质3的探索与运用。 三、教学方法：自主探究——合作交流 四、教学过程: 情景引入：1．举例说明什么是不等式？ 2．判断下列各式是否成立？并说明理由。 ( 1 ) 若x－6=10, 则x＝16( ) ( 2 ) 若3x=15, 则 x＝5 ( ) ( 3 ) 若x－6＞10 则 x＞16( ) ( 4 ) 若3x＞15 则 x＞5 ( ) 【设计意图】（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。 温故知新 问题1．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？ 等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。 估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。教师引导：“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。 问题2．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？ 同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。 问题3．你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？ 等式性质2：等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），等式依然成立。 估计学生会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。 你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？ 学生在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。 问题4．在不等式两边都乘0会出现什么情况？ 问题5．如果a、b、c表示任意数，且a＜b，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？ 【想一想】不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？ 学生思考，独立总结异同点。 【设计意图】引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。 综合训练：你能运用不等式的基本性质解决问题吗？ 1、课本62页例3 教师引导学生观察每个问题是由a＞b经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答。 2、你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？ 3．火眼金睛 ①a＞1, 则2a___a ②a＞3a,则 a ___ 0 【设计意图】通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。 课堂小结： 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。 【设计意图】回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。 思考题 咱们班的盛芳同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮盛芳同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？ 【设计意图】利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。 教学重点 1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2、从不同角度探索基本不等式的证明过程； 3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。 教学难点 1、对基本不等式从不同角度的探索证明； 2、通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路。 教具准备 多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程； 3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。 二、过程与方法 1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。 三、情感态度与价值观 1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯； 2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量； 3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。 教学过程 导入新课 探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ （教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情） 推进新课 师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？ （沉静片刻） 生 应该先从此图案中抽象出几何图形。 师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？ （请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评） （其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形） 师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。 （此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来） ［过程引导］ 师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？ 生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。 师 一定吗？ （大家齐声：不一定，有可能相等） 师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？ 生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab。 师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？ 生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。 师 回答得很好。 （有的同学感到迷惑不解） 师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。 （有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明） 师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab。 生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。 师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？ 生 正确。 ［教师精讲］ 师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。 生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。 师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。 （教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言） 生 作商，用商和“1”比较大小。 师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到。 （此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生） ［合作探究］ 师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。 生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。 （学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨） 师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明。 生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。 师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。 （大家齐声）一致。 （此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用） 板书： 一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立。 ［过程引导］ 师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。 （同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引） 师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。 生 完全可以。 师 为什么？ 生 因为不等式中的a、b∈R。 师 很好，我们来看一下代替后的结果。 板书： 即 (a＞0,b＞0)。 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 （此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解） 师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？ （此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：，① 只要证a+b≥2，② 要证②，只要证：a+b-2≥0，③ 要证③，只要证：④ 显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。 （此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度） ［合作探究］ 老师用投影仪给出下列问题。 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ （本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础） ［合作探究］ 师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？ 生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得。 生 由射影定理也可得。 师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？ 生表示半弦长，表示半径长。 师 半径和半弦又有什么关系呢？ 生 由半径大于半弦可得。 师 这位同学回答得是否很严密？ 生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。 课堂小结 师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？ 生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab。 生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。 （此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高） 师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。 布置作业 活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论。 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。 （方法二）创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段CE、OE、CD、DF的长度，由CE＞OE＞CD＞DF可得。 板书设计 基本不等式的证明 一、实际情景引入得到重要不等式 a2＋b2≥2ab 二、定理 若a＞0，b＞0 课后作业： 证明过程探索： （一）教学目标 1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。 2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。 （二）教学重、难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 （三）教学设想 [创设问题情境] 问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.. 根据题意，应有如下的不等关系： （1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm； （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）解得两钟钢管的数量都不能为负。 由以上不等关系，可得不等式组： [练习]第82页，第1、2题。 [知识拓展] 设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？ 从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质： （1） （2） （3） （4） 证明： 例1讲解（第82页） [练习]第82页，第3题。 [思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质： [小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系； 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系； [作业]：习题3.1（第83页）：（A组）4、5；（B组）2. 一、三维目标： 1、知识与技能： 理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题 2、过程与方法： 能够理解并建立不等式的知识链 3、情感、态度与价值观： 通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识 4、本节重点： 应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程 5、本节难点： 应用基本不等式求最值 二、课程引入： 第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图： 四个以a，b为直角边的直角△ABC，组成正方形ABCD 则 如图可知： 即 当且仅当小正方形EFGH面积为0时取等号，即时取得等号 三、新课讲授： （一）基本不等式的推证： 1、重要不等式与基本不等式 由引入中提到的重要不等式，将其中的用代换， 得到基本不等式，当且仅当时，即时取得等号。 特别注意，重要不等式的适用范围是全体实数， 而基本不等式的使用需要 2、基本不等式的几种表述方式 平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理） 数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项 探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长 3、分析法推证基本不等式 要证，只需证明（2）。要证明（2）只需证明（3）。 要证明（3）只需证明（4）。（4）式显然成立，故得证。 （二）基本不等式的应用与提高： 1、你是设计师！ （1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案： 圆形花圃：造价12元/米 矩形花圃：造价10元/米 你觉得哪个方案更省钱呢？ 分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。 圆形花圃： 矩形花圃：设两边为x，y，，故当x=y时花费最少为400元 （2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？ 解： （3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？ 2、看谁算得快！ 3、大家来挑错！ 分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。 本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。 提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。 本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。 提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的`等号是否能取得，在什么情况下取得。 （三）小结： 1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。 2、积定和最小、和定积最大。 3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等” 四、作业： 1、书后练习题。 2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。 五、课后反思： 1、多媒体的运用。 在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。 2、应该引导学生多种思路考虑问题 比如这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。 3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。 4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。 【教学目标】 1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。 2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。 3．了解不等式或不等式组的实际背景。 4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。 【重点难点】 重点: 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。 2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。 3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。 难点: 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。 2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。 【方法手段】 1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。 3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。 【教学过程】 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。你能举出一些例子吗？ 实例1.某天的天气预报报道，最高气温35℃，最低气温29℃。 实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。 实例3.两点之间线段最短。 实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。 推进新课 同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。而且大家已经考虑到本节课的标题《不等关系与不等式》，所举的实例都是反映不等量的关系。 （下面利用电脑投影展示两个实例） 实例5：限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h。 实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。 让学生们边看边思考：生活中有许多的事情的描述可以采用不等的数量关系来描述 过程引导 能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？ 什么是不等式呢？ 用大屏幕展示一组不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4. 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。 思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。 经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。 目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号≤，≥的含义，是或的关系。回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。 此时学生已经迫不及待地想说出自己的观点了。 合作探究 （一）。下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一一的表示出来，那应该怎么表示呢？ 这两位同学的观点是否正确？ 老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。”应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。 （二）。问题一：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点。 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。 老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？ （下面让学生板演，结合三角形草图来表达） 问题（二）：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 是不是还有其他的思路？ 为什么可以这样设？ 很好，请继续讲。 这位学生回答的很好，表述得很准确。请同学们对两种解法作比较。 问题（三）：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？ 假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？ 右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？ 这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？ 通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。请同学们完成书本练习第74页1，2。 课堂小结： 1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。 2.数学和我们的生活联系非常密切。 3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。 布置作业： 第75页习题3.1 A组4，5。 29℃≤t≤35℃ x≥0 |AC|+|BC|>|AB| |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|. |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、 |AB|-|AC|<|BC|.交被减数与减数的位置也可以。 如果用表示速度，则v≤40km/h. f≥2.5%或p≥2.3% 学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次实际问题中的不等量关系，即可以表示为也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%. 过点A作AC⊥平面于点C，则d=|AC|≤|AB| 可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本。销售量变为(8-)万本，则总收入为(8-)x万元。即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-)x≥20. 解法二：可设杂志的单价提高了0.1n元，（n） 我只考虑单价的增量。 那么销售量减少了0.2n万本，单价为（2.5+0.1n）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20. 截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。 截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。 截得两种钢管的数量都不能为负数。 它们是同时满足条件，应该是且的关系。由实际问题的意义，还应有x,y要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。 此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。 此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。 让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。老师注意关注学生的思维状况，并且及时的加以指导。 此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识。 【教学反思】(【设计说明】) 本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。 【交流评析】 一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。 教学分析 本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来. 在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小. 在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识. 三维目标 1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系. 2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围. 3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美. 重点难点 教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围. 教学难点：准确比较两个代数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课. 思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课. 推进新课 新知探究 提出问题 1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系? 2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗? 3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系? 4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系? 活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a 教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容. 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃. 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA 实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零. 实例4：两点之间线段最短. 实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h. 实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等. 教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图. |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|. |AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以. 实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%. 对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论. 讨论结果： (1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a 应用示例 例1(教材本节例1和例2) 活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法. 点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握. 变式训练 1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x) 答案：A 解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x). 2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小. 解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2. ∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1. 例2比较下列各组数的大小(a≠b). (1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0); (2)a4-b4与4a3(a-b). 活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点. 解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b. ∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b. (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b) =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2]. ∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)， 又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0. ∴a4-b4<4a3(a-b). 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. 变式训练 已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小. 活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系. 解：xy-1=x-yy. ∵x>y，∴x-y>0. 当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1; 当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1. 点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论. 例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由. 活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法. 解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a 由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%， 因此a+mb+m>ab≥10%. 所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了. 点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab. 变式训练 已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( ) A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8 C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定 答案：A 解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4 =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2). ∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0. 又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5. 知能训练 1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小. 答案： 1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0， ③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0. ∴只有①恒成立. 2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0， 所以2x2+5x+9>x2+5x+6. 课堂小结 1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中. 2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究. 作业 习题3—1A组3;习题3—1B组2. 设计感想 1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药. 2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响. 3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升. 备课资料 备用习题 1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小. 2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1. 3.已知x>0，求证：1+x2>1+x . 4.若x 5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小. 参考答案： 1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4) =(x2-6x+9)-(x2-6x+8) =1>0， ∴(x-3)2>(x-2)(x-4). 2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5) =m2-2m+5+2m-5 =m2. ∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0. ∴m2-2m+5≥-2m+5. (2)(a2-4a+3)-(-4a+1) =a2-4a+3+4a-1 =a2+2. ∵a2≥0，∴a2+2≥2>0. ∴a2-4a+3>-4a+1. 3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2 =1+x+x24-(x+1) =x24， 又∵x>0，∴x24>0. ∴(1+x2)2>(1+x)2. 由x>0，得1+x2>1+x. 4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). ∵x0，x-y<0. ∴-2xy(x-y)>0. ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b， 当a>b>0时，ab>1，a-b>0， 则(ab)a-b>1，于是aabb>abba. 当b>a>0时，0 则(ab)a-b>1. 于是aabb>abb a. 综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 【基本不等式教学设计（通用8篇）】 不等式的基本性质的教学课件 【教学重点与难点】 教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． 教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形． 【教学目标】 1、 探索并掌握不等式的基本性质 2、 会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】 通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 【教学过程】 一、创设情境 复习引入 （设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．） 问题：1、什么是等式？等式的基本性质是什么？ 2、 什么是不等式？ 3、 用“＞”或“＜”填空． （1）7＞3 （2）-1<3 7+5 3+5 -1+2 3+2 7-5 3-5 -1-4 3-4 （教学说明： 复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.） 二、师生互动，探索新知 1、不等式的基本性质 问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质 先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质. 观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1： 不等式基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关？由学生概括总结，教师补充完善得出： 不等式基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个不为零的正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个不为零的负数，不等号的方向改变． 2、图形演示 通过PPT用图形演示不等式的基本性质，让学生更加清楚地认识不等式的基本性质。 3、拓展及应用 提问：不等式有对称性吗？ 不等式有传递性吗？ 【学生通过讨论能够比较容易得出结论：不等式有对称性，但要注意其不等号方向的`变化；不等式也有传递性，但要注意的是同向传递性。】 三、巩固训练，熟练技能： 1、（1） a - 3____b - 3； （2） a÷3____b÷3 （3） 0.1a____0.1b; (4) -4a____-4b (5) 2a+3____2b+3; (6) (2+1) a ____ (2+1)b (为常数) 【本题目采用提问的方式，因为内容相对简单，所以可以迅速得到结论。要让提问者说清楚答案，并说明利用不等式的性质几来进行判定的。】 2、判断下列各题的推导是否正确？为什么 (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a． 【学生口答，并说明为什么。本题重点是第5小题，要引导学生总结出a的取值会影响到答案。当a＞0时，3a＞2a．(不等式基本性质2) 当 a=0时，3a=2a．当a＜0时，3a＜2a．(不等式基本性质3) 】 3、独立完成习题 学生自己完成以下题目，之后进行集体讲解。 (1)如果x-5>-1，那么______________________，得：x>4 (2)如果-2x>3，那么那么______________________，得X=______ 四、小结 师生共同小结本节课所学重点，不等式的基本性质的具体内容。 五、作业、 习题2.2 《不等式的基本性质》它是北师大版八年级下册第二章第二节的内容。今天我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法，教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法： 本节内容不等式的基本性质，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用。 根据《新课程标准》的要求，教材的内容兼顾我班学生的特点，我制定了如下教学目标： 知识与技能： 1. 感受生活中存在的不等关系，了解不等式的意义。 2. 掌握不等式的基本性质。 过程与方法：经历不等式的基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 情感态度与价值观：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步符号感与数学化的能力。 教学重难点： 不等式及其基本性质测试题及答案 一、填空 1.在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有 .(只填序号) 2.如果 ，那么 . 3.若 ，用填空. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 二、选择 4. 的 倍减 的差不大于 ，那么列出不等式正确的是( ) A. B. C. D. 5.已知 ，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 6.下列说法正确的是 ( ) A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 7.已知 ，a为任意有理数，下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知43,则下列结论正确的( ) ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质 ，它所表达的意思是( ) A.蛋白质的含量是20%. B.蛋白质的含量不能是20%. C.蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10.如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，那么图中显示物体的质量范围是( ) A.大于2千克 B.小于3千克 C.大于2千克小于3千克 D.大于2千克或小于3千克 11.如果a A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是 A. 2 B. 23 C. 12 D. 4 5 13. 用 a,b,c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为( ) A. B. C. D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑵ 老师的年龄 比赵刚的年龄 的 倍还大. ⑶ 的相反数是正数. ⑷ 的 倍与 的差不小于 . 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑵ 除以2的商加上4至多为6. ⑶ 与 两数的平方和为非负数. 16.(1)用两根长度均为 ㎝的绳子 ，分别围成正方形和圆，如图7-1-2所示，如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长 应满足怎样的'关系式. (2)如果要使圆的面积大于100cm2那么绳长 应满足怎样的关系式? (3)当 =8㎝时，正方形和圆那个面积大? 17.某商场彩电按原价提高40%，然后在广告中写上大酬宾八折优惠，结果每台彩电比原价多赚的钱数在240元以上，试问彩电原价至多多少元以上?设彩电原价为 元，用不等式表示题目中的不等式关系.如果彩电的原价是2200元，它是否符合要求? 参考答案 1.①②③④⑥ 2. 3. ⑴ ⑶ ⑸ 4.A 5.D. 6.C 7. C 8.C 9.D 10.C.11.C 12.A 13. A 14.⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 15.⑴ ⑵ ⑶ 16.(1)变式题 解析：由题意知，正方形的边长为 ，所以 ，即 . (2) 解析：由题意知，圆的半径为 ， ，即 . (3)圆的面积大.解析：l=8时， ， ， 45.1，故圆的面积大. 17. ，当 时，不等式成立. 难点：不等式基本性质3 教法与学法： 1. 教学理念： “ 人人学有用的数学” 2. 教学方法：观察法、引导发现法、讨论法． 3. 教学手段：多媒体应用教学 4. 学法指导：尝试，猜想，归纳，总结 根据《数学课程标准》的要求，教材和学生的特点，我制定了以下四个教学环节。下面我将具体的教学过程阐述一下： 一、复习导入新课 上课开始，我首先带领学生学习本节课的教学目标，让学生明白本节课学习的目标。 1.探索并掌握不等式的基本性质，并运用它对不等式进行变形. 2.理解不等式性质与等式性质的联系与区别. 3.提高观察、比较、归纳的能力，渗透类比的思想方法. 二、探求新知，讲授新课 第一部分：学前练习 1. -7 ≤ -5, 3+4＞1+4 5+3≠12-5, x ≥ 8 a+2＞a+1， x+3 ＜6 (1)上述式子有哪些表示数量关系的符号？这些符号表示什么关系？ (2)这些符号两侧的代数式可随意交换位置吗？ (3)什么叫不等式？ 目的：设计该部分是为了让学生上新课之前先回顾一下上节课学习的内容。 第二部分：探究新知： 1.商场A种服装的价格为60元，B种服装的价格为80元 （1）两种服装都涨价10元，哪种服装价格高？涨价15元呢？ （2）两种服装都降价5元，哪种服装价格高？降价15元呢？ （3）两种服装都打8折出售，哪种服装价格高？ 2.已知 4 > 3，填空： 4×（-1）——3 ×（-1） 4×（-5）——3 ×（-5） 目的：设计该部分的目的是为了引出不等式的基本性质做铺垫。 第三部分：不等式的基本性质的探究 1：填空: 60 < 80 60+10 80+10 60-5 80-5 60+a 80+a 性质1，不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 2：填空(1)：60 < 80 60 ×0.8 80 ×0.8 填空(2)： 4 > 3 4×5 3×5 4÷2 3÷2 性质2，不等式的'两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3：填空： 4 > 3 4×(-1) 3×(-1) 4×(-5) 3×(-5) 4÷(-2) 3÷(-2) 性质3，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、小结不等式的三条基本性质 1. 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 2. 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3.*不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 ； 与等式的基本性质有什么联系与区别？ 四、典型例题 例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式： (1) x-2＜ 3 (2) 6x＜ 5x-1 (3) 1/2 x＞5 (4) -4x＞3 解：(1)根据不等式基本性质1，两边都加上2， 得： x-2+2＜3+2 x＜5 (2)根据不等式基本性质1，两边都减去5x， 得： 6x-5x＜5x-1-5x x＜-1 例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： (1)a-3 b-3 (2) -4a -4b 解：(1) ∵a＞b ∴两边都减去3，由不等式基本性质1 得 a-3＞b-3 (2) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b 五、变式训练： 1、已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。 （1）x+2 y+2 （不等式的基本性质 ） (2) 3x 3y （不等式的基本性质 ） （3）－x －y （不等式的基本性质 ） (4)x－m y－m （不等式的基本性质 ） 2、若a-b<0，则下列各式中一定成立的是（ ） A.a>b B.ab>0 C. D.-a>-b 3、若x是任意实数，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A.3x>2x B.3x2>2x2 C.3+x>2 D.3+x2>2 六 、小结 七、作业的布置 八、 以上是我对这节课的教学的看法，希望各位专家指正。谢谢！ 不等式的基本性质数学教案 教学目的 掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。 教学过程 师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？ 第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7. 第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4. 生：第一组都是等式，第二组都是不等式。 师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？ 生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。 师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。 前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？ 生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。 师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。 练习1(回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。 （1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6 练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。 （1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？ （2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？ （3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？ 生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的`结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！ 师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？ 生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。 师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。 练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变： 7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。 师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说 【不等式和它的基本性质教学设计】相关文章：篇2：不等式和它的基本性质教学设计
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